Senin, 24 Juni 2013

Rangkuman Ellips



Persamaan pusat elips berbentuk
x2 / a2 + y2 / b2 = 1

Pusat elips di O (0,0) : titik-titik api F1 (c,0) dan F2 (-c,0) dengan c2 = a2 - b2
Eksentrisitas numerik e = c/a < 1

Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b

Bentuk ellips dengan pusat P (a’,b’) dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat persamaannya adalah :
(x-a’)2 / a2 + (y2-b’2) / b2 = 1

Persamaan garis singgung pada ellips x2 / a2 + y2 / b2 = 1 
a)      Dengan gradien m,
 y = mx + a2m2 + b2
b)      Dengan titik singgung T (x1 , y1) maka
 x1x / a2 + y1y / b2 = 1

Sifat utama garis singgung 
Garis singgung disuatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik api tersebut dengan titik api lainnya.

Persamaan garis di kutub T (x1, y1) terhadap x2 / a2 + y2 / b2 = 1 adalah
x1x / a2 + y1y / b2 = 1.

Sifat-sifat garis kutub : 
a)      Jika titik Q terletak pada garis kutub p dari titik P maka garis kutub q dari titik Q melalui P.
b)      Jika suatu titik P menjalani suatu garis q, maka garis kutub p dari titik P berputar pada titik Q, yaitu kutub dari garis q.
Persamaan garis-garis arah (direktris) dari ellips x2 / a2 + y2 / b2 = 1 adalah
+ a2/c
Titik-titik pada ellips bersifat bahwa perbandingan jaraknya terhadap suatu titik api deri garis arah yang bersesuaian tetap besarnya yaitu e = c / a < 1.
Garis normal T membagi dua sama besar sudut antara garis-garis penghubung T dengan titik-titik api.

Tempat kedudukan titik-titik tengah talibusur-talibusur yang sejajar dengan garis y = mx adalah suatu garis dengan persamaan
y = -b2 / a2m
Garis-garis y = mx dan y =-b2 / a2m.
x disebut garis-garis sekawan, m dan -b2 / a2m  disebut arah-arah sekawan.

Tempat kedudukan titik-titik potong garis-garis singgung pada ellips yang saling tegak lurus adalah berupa lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = a2 + b2 tingkatan ini disebut lingkaran orthoptis dari Moge
Tempat kedudukan titik-titik potong garis singgung pada ellips dengan garis-garis yang tegaklurus padaya yang ditarik dari titik-titik api adlah berupa lingkaran dengan pesamaan x2 + y2 = a2 lingkaran ini disebut lingkaran titik kaki.
Dalil 1 dari Apollonius
“  Jumlah kuadrat dari dua garis sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya “

Dalil II dari Apollonius
“ Luas jajaran denjang yang mengelilingi elips pada garis-garis sekawan sama dengan luas panjang pada sumbu-sumbunya “

0 komentar:

Poskan Komentar

Share

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Favorites